Im nahen Osten gibt es noch Schawarma, manchmal auch Schwarma genannt, was auch nichts anderes als Döner oder Gyros ist, nämlich auch geschichtete Fleischscheiben, die über dem Feuer gedreht werden.
Es gibt sehr viele Gerichte, die man im ganzen Mittelmeerraum finden kann, und man wird auch nicht richtig herausfinden können, wer die nun erfunden hat. So sind vielleicht Döner, Gyros, etc. eigentlich so etwas wie regionale Varianten des gleichen Gerichtes. Der Name bedeutet ja auch immer 'Drehen' in verschiedenen Sprachen.
Zu den Zeiten des Osmanischen Reiches gab es auch die verschiedenen Nationalstaaten noch nicht, so dass der kulturelle Austausch viel größer war. Da ist es kein Wunder, wenn sich die verschiedenen Völker auch gegenseitig beeinflusst hatten.
Man weiß, dass in der gehobenen Küche am Hofe der Sultane im Osmanischen Reich häufig griechische Köche beschäftigt waren. So gehen viele Gerichte dieser gehobenen, höfischen Küche auf griechische Traditionen zurück. Döner bzw. Gyros dürfte aber nicht dazu gehören.
Es macht also gar keinen Sinn zu rätseln, wer da was erfunden hat, weil die Kulturen früher viel stärker vermischt waren als heute.
Nachtrag:
Den Döner/Gyros auf der Hand, wie er heute in Deutschland üblich ist, ist auch ein typisches Ding in Deutschland gewesen, nicht in den Herkunftländern. Selbst bei der Döner-/Gyrostasche ist es schwer zu beurteilen, wer da schneller oder zuerst da war. Die türkischen und griechischen 'Gastarbeiter' kamen in etwa zeitgleich nach Deutschland, die ersten Restaurants und Imbisse entstanden auch ziemlich zeitgleich in den Großstädten. Auf Gesamtdeutschland gesehen (eigentlich eher Westdeutschland, im Osten gab's kein Döner) waren die Griechen oft geschäftstüchtiger, so dass es in den 80ern mehr griechische Restaurants als türkische gab. In den Großstädten war die Situation aber anders. Wenn also einer meint, dass die Griechen mit der Gyrostasche früher da war, dann liegt das bestimmt daran, dass es in seiner Stadt/Region früher griechische Restaurants gab. In den Großstädten hingegen entstand das eher parallel. Spätestens in den 90ern aber wurden die 'Dönerbuden' in ganz Deutschland immer zahlreicher.
Möglicherweise hat sich der Döner mehr durchgesetzt, weil er mit dem ursprünglich ausschließlich verwendeten Lamm- und Rindfleisch deutlich weniger fettig war als Gyros aus Schweinefleisch. Das passte dann mehr in den Zeitgeist.
Nach meiner persönlichen Einschätzung schmeckte der Döner in den 80ern und 90ern auch besser, weil er noch kein standardisiertes Industrieprodukt war, sondern noch von den Restaurantbesitzern selbst gemacht wurde, was heute leider sehr selten geworden ist. Weniger Hack und der Einsatz von Lamm machten den Döner in vielen Restaurants doch deutlich saftiger und leckerer als heute. Manche Restaurants heute würden so etwas vielleicht als 'Premium-Döner' verkaufen, weil er auch etwas teurer wäre. Das wäre auch näher am Original aus der Türkei. Türken wundern sich sowieso immer, was hier alles als Döner Kebap verkauft wird, inklusive 'Hähnchen-Döner' oder neuerdings sogar 'Fisch-Döner'.